Achille et la tortue

Un paradoxe de Zénon d’Élée

On raconte qu’un jour, le héros grec Achille a fait la course avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement à la tortue une avance de cent mètres.

Zénon affirme alors que le rapide Achille n’a jamais pu rattraper la tortue.

« En effet, supposons pour simplifier le raisonnement qu’Achille court 10 fois plus vite que la tortue.

Au bout d’un certain temps, Achille aura comblé ses cent mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru 10 mètres.

Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin.

Puis il lui faudra une autre durée avant d’atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé.

Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l’endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin.

Par conséquent, le rapide Achille n’a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue. »

Comment pouvez-vous expliquer ce paradoxe ?

3 réponses à Achille et la tortue

  1. Tristan dit :

    La seul réponses possible à ce paradoxe :

    Si la Tortue part de 110m et Achille de 0m le temps que la tortue arrive à 120 Achille lui sera alors arriver au bout des 100m, en considérant qu’a chaque fois Achille prend un temps supplémentaire pour attendre la même distance que la Tortue alors il ne pourras jamais la rattraper ( on fait un produit en croix et on s’aperçoit que Achille n’y arrivera jamais, (120*100)/110 = 109.0909 ) Donc Achille ne pourras jamais rattraper la Tortue, Il faudrait que Achille soit 11 fois plus rapide que la tortue ou alors qu’il lui laisse 90 mètre d’avance, j’espère que je me suis pas trompé ^_^

    Réponse :
    Il est assez évident qu’Achille rattrapera la tortue dans tous les cas !…
    Indice : combien de temps mettra-t-il ?

    Attention, spoil ci-dessous !

    OK, voilà la réponse :
    Admettons pour simplifier encore qu’Achille avance à 1 mètre par seconde (3,6 km/h, il ne se presse pas trop !), et donc la tortue à 10 cm par seconde (pour elle, c’est rapide !).
    Le temps total en secondes mis par Achille pour la rattraper dans ce contexte peut s’écrire :
    100 + 10 + 0.1 + 0.01 …, soit 100 (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …) ce qui est la somme des termes d’une suite géométrique de raison 1/10, ou encore 0,1 et de premier terme 100.
    Relisez le chapitre des suites et la formule Sn = U0 * (1 – q^n) / (1 – q).
    Donc cette somme s’exprime pour n termes : Sn = 100 (1 – 0,1^n) / (1 – 0,1).
    Si n devient infini, on trouve 0,1^n quasiment nul, d’où :
    S = 100 (1 – 0) / (1 – 0,1) = 100 / 0,9 = entre 111,1 et 111,2 secondes.
    Cela signifie que ce nombre infini d’intervalles de temps a pour somme approchée le nombre fini 111 s !
    C’est aussi le temps que mettra Achille pour rattraper la tortue.
    L’erreur de raisonnement commise ici est d’imaginer que la somme d’un nombre infini d’intervalles de temps était un temps infini, ce qui ici est totalement faux.

  2. Adrien dit :

    Un peu léger, comme commentaire : pourquoi pas « La distance surpasse la vitesse » ?
    La question n’est pas du tout là !
    Distance et vitesse sont reliées par le temps, et si la vitesse (d’après Einstein) a une limite, qu’en est-il du temps ? À méditer !

  3. Arainui dit :

    La vitesse bat la distance.

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