Solution (fausse) de l’équation x² + 1 = 0

On sait que (x + 1)² = x² + 2x + 1= x² + 1 + 2x

et que (x – 1)² = x² – 2x + 1 = x² + 1 – 2x

donc, si on a x² + 1 = 0,

on aura 2x = (x + 1)², d’où x >=0

et 2x = – (x – 1)² d’où x <= 0

On a donc x = 0, seule solution de x² + 1 = 0.

Euh, il y a un problème ? Lequel, ou lesquels ?

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20 réponses à Solution (fausse) de l’équation x² + 1 = 0

  1. samir boukerchi dit :

    vous trouverez la resolution de x²+1=0 sur samir boukerchi facebook

    Réponse :
    Vous pouvez aussi la trouver dans les commentaires précédents…

  2. hassan bouhadi dit :

    x²+1 = 0 n’admet pas de solution réelles mais elle admet deux solutions complexes : x = i et x = -i.
    Exact, mais je parlais ici de solutions réelles bien sûr…

  3. mouhamed dit :

    x² + 1 = 0
    x²=-1 impossible car le carre d’un nombre n’est jamais negatif

    Réponse :
    Bien sûr que c’est impossible (donc la solution est bien fausse), mais là n’est pas la question, le but est de chercher à quel moment du raisonnement une erreur s’est glissée !
    Dans ce cas précis, l’erreur était de supposer qu’il y a une solution.
    C’est pourquoi, une fois arrivé à la conclusion (ici, « x = 0 »), il faut revérifier dans l’équation de départ et on voit bien que cela ne marche pas !
    Le raisonnement est correct dans le sens que « Si x² + 1 = 0, Alors, x = 0 ».
    Mais cela ne veut pas dire que « Si x = 0, Alors x² + 1 = 0 » !!
    Pour que ce soit vrai, il aurait fallu raisonner par équivalence et non par implication.
    Question de logique mathématique…

  4. mouhamed dit :

    x² + 1 =0 x²=-1 donc l’equation est impossible x² ne peut pas etre un nombre negatif

  5. mouhamed dit :

    x^2+1=0 x^2=-1 donc l’equation est impossible x^2 ne peut pas etre un nombre negatif

  6. Adrien dit :

    En bref, l’erreur de raisonnement est de supposer au départ qu’il existe une solution réelle : on en déduit des choses impossibles, en l’occurrence que 0 est solution, donc que 0²+1 = 0 ce qui est absurde.

  7. débutant dit :

    J’ai pas encore compris , où est exactement la faute de raisonnement (sachant qu’au début on donne que x est un nombre réel ) ??

  8. samir dit :

    l’equation est resolu.
    mobile = 07 92 42 87 81

  9. Adrien dit :

    C’est bien, tu as appris les nombres complexes, inventés pour résoudre ce problème, mais tu as oublié la solution x=-i, qui est tout aussi valable…
    Par contre, le but était de trouver des solutions réelles et c’est pour ça qu’en supposant l’existence d’une telle solution, on arrive à une contradiction.

  10. aissa dit :

    bonjour les gars ,je trouve que la solution de l’équation x²+1=0
    x²+1=0 x²=-1
    donc =>x=i
    car =>i²=-1
    dont z=réél A+imaginaireB

  11. boukerchi samir dit :

    croyez moi x²+1=0 à etait resolu en juin 2014 par mr boukerchi samir le prodige des mathematique ,mais ce dernier se plain une marginalité et il dit : je vous donnerai la solution si vous m’accordez un brevet et une prime si c’est juste?

  12. boukerchi samir dit :

    bon jour l’equation x²+1=0 à était resolu par mr samir le prodige des mathematiques
    mais il n’a pas encore trouvé des chercheurs honnetes .

  13. Mustapha dit :

    Complément à ce que j’ai déjà écrit:
    Si x² + 1 = 0 a une solution alors elle ne peut être que x=0. Il faut alors trouver un moyen de vérifier si l’équation a une solution. On sait par d’autres moyens que cette équation n’a pas de solution. Donc, l’hypothèse (x² + 1 = 0 ) n’est pas vérifiée, ainsi on ne peut pas conclure que x = 0 même si la proposition (x² + 1 = 0 implique x=0) est vraie .
    CQFD

    Réponse :
    Tes raisonnements sont exacts. Je finis ton second message :
    Pour prouver que 0 n’est pas solution, il suffit de calculer : 0² + 1 = 1 et non 0… Donc dire que x² + 1 = 0 pour un x (réel !) donné implique que 0 = 1, ce qui est visiblement faux. donc la prémisse est fausse, et il n’y a pas de valeur réelle pour x telle qu’on ait x² + 1 = 0.
    Il existe des solutions pour x, mais seulement dans les nombres complexes (voir plus bas).

  14. Mustapha dit :

    Le raisonnement part d’une hypothèse si x² + 1 = 0, alors on aura x=0. Il s’agit d’une implication juste: C’est (x² + 1 = 0 implique x=0). Toute implication avec une prémisse fausse est une implication juste. Il faut s’assurer de la justesse de la prémisse pour conclure que la conclusion x=0 est juste. C’est un problème surtout de logique.

  15. Adrien dit :

    Exact, Aurélien. En fait, quand par déductions successives on trouve une solution (ou plusieurs) à une équation, il faut encore vérifier que cette solution « marche » : or ici, 0² + 1 = 1 et non 0, donc cette solution ne convient pas, et donc il n’y a pas de solution.
    Bien sûr, on a utilisé pour prouver que x=0 des propriétés qui existent chez les réels mais pas chez les complexes, à savoir la relation d’ordre !
    En effet, pour tout couple de réels distincts a et b, on aura soit a < b, soit a > b.
    Chez les complexes, cette propriété n’existe pas : dire que le complexe a est plus grand ou plus petit que le complexe b n’a pas de sens !

  16. aurelien dit :

    cette equation n’a pas de solution dans N non plus dans R mais plutot dans C ensemble des nombres complexes ainsi on aura : x=i ou x= -i

  17. Adrien dit :

    Votre raisonnement est impeccable, mais vous n’avez pas compris l’intérêt du problème : tout le monde sait (du moins ceux qui connaissent un peu les mathématiques) qu’il n’y a pas de solution réelle à cette équation.
    Le plaisir, et aussi la difficulté ici, est de trouver où est l’erreur de raisonnement !
    Et c’est très important, et particulièrement dans la vie courante, de savoir repérer l’erreur dans un raisonnement qui semble correct.

  18. bouwallen dit :

    Pour l’équation x²+1=0 : dans R, pas de solution (impossible) car (facile et ne cherchez pas à compliquer les choses) :
    On a quelque soit x dans R, x² supérieur ou égal à 0, et le nombre 1 est supérieur strictement à 0.
    Donc x² + 1 est supérieur strictement à 0 (et même x² + 1 >= 1).
    Par conséquent c’est impossible et la solution est l’ensemble vide.
    Réponse : Exact, mais le but était de trouver où est l’erreur de raisonnement.

  19. Adrien dit :

    Oui, plus précisément l’erreur est de déduire de 2x = (x+1)² que x est positif ou nul.
    C’est cela qui est faux, car c’est supposer que x est réel, ou autrement dit qu’il existe une solution réelle à l’équation.
    Si on se place dans le corps des complexes, où la relation d’ordre n’existe pas, on peut trouver une solution.
    En effet, ça marche pour les complexes i et -i, on a bien 2i = (i+1)² et 2i = -(i-1)²… Mais on ne peut pas dire pour autant que i est positif ou négatif !

  20. toto dit :

    On est dans l’ensemble des réels.
    En ligne 3 : donc si x²+1=0 et x réel alors…
    SI, donc une hypothèse qui nous donne comme conclusion x=0 qui tout le monde le sait bien n’est pas une solution de l’équation de départ.
    Ainsi l’hypothèse « x² + 1 = 0 et x est réel » est absurde et on vient de prouver que le corps des réels n’est pas algébriquement clos…

    Note de l’auteur du site : Très juste, c’est bien l’explication de cette apparente contradiction.
    Remarque : un corps algébriquement clos est un ensemble de nombres où tout polynôme de degré n peut se décomposer en produit de n polynômes de degré 1.
    On peut aussi dire : un ensemble dans lequel toute équation polynomiale a une ou plusieurs solutions.

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